Меню

Шаблоны параболы по алгебре 9 класс как сделать

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Квадратичная функция — это функция вида

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит « x » — это « 2 », то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты « a », « b » и « с ».

Как построить график квадратичной функции

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Если « a > 0 », то ветви направлены вверх.

Если « a », то ветви направлены вниз.

В нашей функции « a = 1 », это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Чтобы найти « x » (координата вершины по оси « Ox ») нужно использовать формулу:

Найдем « x » для нашей функции « y = x 2 −7x + 10 ».

Теперь нам нужно найти « y » (координату вершины по оси « Oy »). Для этого нужно подставить найденное значение « x » в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

Выпишем полученные координаты вершины параболы.

(·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси « Oy ».

Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью « Ox » (осью абсцисс).

Наглядно нули функции на графике выглядят так:

Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси « Oy » равна нулю.

Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y = 0 ».

0 = x 2 −7x + 10
x 2 −7x + 10 = 0
x1;2 =

7 ± √ 49 − 4 · 1 · 10
2 · 1

x1;2 =

7 ± √ 9
2

x1;2 =

7 ± 3
2

x1 =

7 + 3
2
x2 =

7 − 3
2
x1 =

10
2
x2 =

4
2
x1 = 5 x2 = 2

Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью « Ox ». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

Возьмем четыре произвольные числовые значения для « x ». Целесообразно брать целые числовые значения на оси « Ox », которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

Читайте также:  Как сделать пальцы рук красивыми и ухоженными

Для каждого выбранного значения « x » рассчитаем « y ».

Запишем полученные результаты в таблицу.

x 1 3 4 6
y 4 −2 −2 4

Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции « y = −3x 2 − 6x − 4 ».

x =

−b
2a

x =

−(−6)
2 · (−3)

=

6
−6

= −1

y(−1) = (−3) · (−1) 2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

(·) A (−1; −1) — вершина параболы.

Точки пересечения с осью « Ox » ( y = 0 ).

x1;2 =

−6 ± √ 6 2 − 4 · 3 · 4
2 · 1

x1;2 =

−6 ± √ 36 − 48
2

x1;2 =

−6 ± √ −12
2

Ответ: нет действительных корней.

Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось « Ox ».

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки « (−2; −4) » и « (0; −4) ». Построим и подпишем график функции.

Источник

Урок алгебры. Тема: «График квадратичной функции». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цель урока:

Задачи урока:

Тип урока: формирование новых знаний и умений.

План урока:

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устная работа


рис. 1

Построим графики функций y = x 2 и y = x 2 + 2.

Составим таблицу значений этих функций при одних и тех же значениях аргумента.

X -3 -2 -1 1 2 3
y=x 2 9 4 1 1 4 9
y=x 2 + 2 11 6 3 2 3 6 11

Эта таблица подсказывает, что каждой точке (x;y) графика функции y = x 2 соответствует точка (xo;y+2) графика функции y = x 2 + 2. Следовательно, график функции y = x 2 + 2 получен в результате параллельного переноса графика функции y = x 2 на две единицы вверх (см. рис. 2).


рис 2.


рис. 3

x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=x 2 16 9 4 1 1 4 9 16
y=(x+ 2) 2 4 1 1 4 9 16 25 36
y= (x-2) 2 36 25 16 9 4 1 1 4

По таблице видим, что график функции y=(x+2) 2 получен в результате параллельного графика функции y = x 2 на две единицы влево; график функции y=(x-2) 2 получен в результате переноса на две единицы вправо (см. рис. 4 и рис. 5).


рис. 4


рис. 5

Параллельно перенесем график функции y= (x-1) 2 на 3 единицы вверх. Получим график функции y = (x-1) 2 +3 (см. рис. 6).


рис. 6

IV. Тренировочные упражнения

1. График какой функции получим, если график функции y = x 2 параллельно перенесем:


рис. 7


рис. 8


рис. 9


рис. 10


рис. 11


рис. 12

V. Самостоятельная работа с последующей проверкой

(Учащимся раздаются карточки с индивидуальными заданиями).

1. Используя шаблон параболы y = x 2 постройте график функции:

1. Используя шаблон параболы y = x 2 постройте график функции:

VI. Итог урока

Ответьте на вопросы:

VII. Задание на дом

Источник

Урок алгебры в 8-м классе по теме: «Построение графика квадратичной функции» с использованием информационных технологий

Разделы: Математика

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, фиксация учителем в классном журнале отсутствующих по отчёту дежурного ученика, постановка целей. (Приложение 1. Слайд1)

II. Проверка домашнего задания

III. Проверка знаний, подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала

Читайте также:  Как сделать чехол на рычаг коробки передач ваз 2105

IV. Изучение нового материала.

Учитель: Вы построили параболу по пяти точкам, не выделяя полный квадрат, не используя шаблон; значит, вы готовы строить график квадратичной функции по плану (у каждого).

ПЛАН ПОСТОРЕНИЯ ПАРАБОЛЫ

    Вычисли координаты вершины.

Отметь её на координатной плоскости.

Повторение этапов построения параболы с использованием презентации. (Приложение 1. Слайд 3)

V. Закрепление нового материала.

VI. Проверка понимания учащимися нового материала.

VII. Другие способы получения параболы.

Учитель: Получить график квадратичной функции – параболу можно и другими способами.

Учитель: Параболу можно определить как кривую, состоящую из всех точек М плоскости, одинаково удалённых от заданной точки – фокуса параболы – и от заданной прямой – директрисы. Такое определение параболы наводит на идею создания чертёжного прибора, способного вычерчивать параболу. Прибор состоит из линейки и угольника, к одному из острых углов которого прикреплена нить, по длине равная прилегающему к этому углу катету-I. Другой конец нити закрепляется в точке плоскости – фокусе параболы, линейка прикладывается к директрисе, угольник скользит катетом-II по линейке, а карандаш (мел) удерживает нить в натянутом состоянии и прижимается к катету-I, скользя вдоль него. При движении угольника вдоль линейки карандаш (мел) вычерчивает параболу. (Учитель демонстрирует получение параболы с помощью модели, изготовленной из линейки, угольника, нити).

Учитель: Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. (Учитель демонстрирует получение кривых с помощью фонарика, экрана). Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму овала. Такой овал называется эллипсом. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

VIII. История параболы.

Сообщение ученика, сопровождаемое презентацией. Коническими сечениями много занимались математики Древней Греции. Ученик Евклида, Аполлоний Пергский, живший в 260-170 г.г. до нашей эры, в основном труде “Конические сечения” дал полное изложение их теории. Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности.

Уже в XVI Никколо Тарталья предположил, что траектория, брошенного тела, “не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой”; в XVII веке Кеплер обнаружил, что по эллипсам двигаются планеты; а Галилео Галилей (XVI-XVII в.в.) показал, что параболы возникают в совсем “земной” ситуации. Догадка Галилея была гениально простой: тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе.

Парабола обладает очень важным оптическим свойством: лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, оказываются направленными параллельно её оси. (Приложение 1. Слайды 4, 5, 6, 7, 8, 9) Это свойство используется при изготовлении зеркал для прожекторов, автомобильных фар, телескопов и в других областях жизни.

Читайте также:  Как сделать огуречный крем для лица в домашних условиях

IX.Задание на дом. § 39; № 623 (2;4), 634.

Источник

Разработка урока по математике на тему ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ШАБЛОНОВ ПАРАБОЛ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = а (х – m)2 + n

У р о к 14.
Использование шаблонов парабол для построения графика функции у = а (х – т) 2 + п

Цель: продолжить формирование умения строить график функции у = а (х – т) 2 + п, используя при этом шаблоны парабол.

I. Организационный момент.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:

а) у = ; б) у = –2х 2 + 1; в) у = (х – 1) 2 – 2; г) у = х 2 + 1; д) у = ; е) у = (х + 1) 2 – 2.

Формирование умений и навыков.

Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с использованием шаблонов;

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с помощью преобразований.

а) у = 2 (х + 1) 2 – 4; б) у = –2 (х – 3) 2 + 2.

а) у = ; б) у = .

Постройте графики функции:

а) у = ; б) у = –3(х – 1) 2 + 4; в) у =

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –(х – 3) 2 ; б) у = х 2 + 1; в) у = 2 (х + 1) 2 – 3.

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –2х 2 + 3; б) у = (х + 2) 2 ; в) у = –(х – 1) 2 – 2.

– Что является графиком функции у = а (х – т) 2 + п?

д/з № 108, № 113 Постройте графики функций у = –2 (х – 1) 2 + 3

у = а (х – т) 2 + п

у = а (х – т) 2 + п, используя при этом шаблоны парабол.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Формирование умений и навыков.

Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с использованием шаблонов;

– построение графика функции у = а (х – т) 2 + п с помощью преобразований.

Итоги урока. Д/з

Номер материала: ДБ-818473

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Adblock
detector